Этот «металлический» фразеологизм, действительно, очень советский. В период расцвета СССР особое внимание уделялось механизации, развитию промышленности, поэтому неудивительно, что больше шансов уйти в народ и закрепиться в речи было у выражений, связывающих окружающую действительность с чем-то индустриальным.

Еще Иосиф Виссарионович Сталин однажды назвал людей винтиками. Сделал он это на приеме в Кремле в честь участников парада Победы 25 июня 1945 года. Многие считают, что в таком сравнении было уничижение, ведь люди уподоблялись легко заменяемым деталям, на самом же деле оригинальная цитата товарища Сталина была уважительной. Просто мышление было другое — индустриализированное.

Ужесточение дисциплины в советские годы не было чем-то из ряда вон выходящим. Особенно это стало заметно во времена Юрия Андропова, когда стали проводиться рейды по ресторанам и крупным магазинам в будние дни для вылавливания прогульщиков и тунеядцев.

И у рабочих людей нашлась ёмкая метафора, как бы продолжавшая идею сравнения общества с механизмом, а руководства — с механиком. Теперь люди стали не винтиками, а гайками, на которые при заворачивании соединений оказывается большое давление. И чем выше крутящий момент, чем сильнее затягивают гайку, тем это давление выше. Вот и стали говорить, что правители закручивают гайки, подразумевая при этом, что вечно такое продолжаться не может — иначе сорвется резьба.